Yuav ua li cas yog ib tug zoo integer? Keeb kwm, tau, yam ntxwv

Math sib cais los ntawm cov kev philosophy txog lub thib rau lub xyoo pua BC. e., thiab los ntawm lub sij hawm ntawd nws tau pib nws qhia peb hlis ntuj nyob ib ncig ntawm lub ntiaj teb no. Txhua theem ntawm kev loj hlob coj ib yam dab tsi tshiab - ib lub tsev account ntawm hloov zuj zuj, hloov mus rau hauv lub differential thiab integral calculus, alternated caug xyoo, lub mis ua ntau ruam tag, thiab tuaj ib lub sij hawm thaum "pib ntawm cov feem ntau nyuaj ua lej - nws zoo los ntawm tag nrho cov zauv." Tab sis dab tsi nteg tom qab?

Lub starting taw tes

Lub ntuj tooj nyob rau ib par nrog rau cov thawj xyuam xim ua hauj lwm. Thaum rov qab, ob rov qab, peb tus txha nqaj ... Lawv nyob ua tsaug rau cov Indian tus paub txog uas thawj coj lub positional tooj system. Lo lus "positional" txhais tau tias lub qhov chaw ntawm txhua tus lej nyob rau hauv ib tug xov tooj ntawm nruj me ntsis txhais thiab sau raws nkaus Ii nws cov qeb. Piv txwv li, cov xov tooj 784 thiab 487 - cov zauv yog tib yam, tab sis cov zauv tsis yog tib yam li cov qub muaj xws li 7 pua pua, whereas lub thib ob - tsuas yog 4. Innovation Khab khaws cov koom pheej, leej twg coj mus rau tus xov tooj ntawm hom uas peb paub Tam sim no.

Nyob rau hauv ancient sij hawm, cov zauv txuas mystical tseem ceeb, qhov loj tshaj mathematician Pythagoras ntseeg hais tias cov xov tooj yog nyob rau hauv lub plawv ntawm creation rau ib tug par nrog qhov yooj yim hais - hluav taws kub, dej, lub ntiaj teb, huab cua. Yog hais tias peb xav txog tag nrho cov tsuas nrog cov zauv sab, ces hais tias yog ib tug zoo integer? Lub teb ntawm tej yam ntuj tso tus xov tooj yog denoted li N thiab yog ib tug infinite series ntawm tus xov tooj uas yog zoo zauv thiab 1, 2, 3, ... + ∞. Xoom yog cais tawm. Mas siv rau suav cov khoom thiab qhia kom meej qhov kev txiav txim.

Yuav ua li cas yog ib tug natural tooj nyob rau hauv kev kawm txog zauv? axioms ntawm Peano

Teb N yog tus los luj rau ntawm uas rests elementary lej. Thaum lub sij hawm, lub cais teb zauv, rational numbers, cov lej nyuaj.

Lub chaw ua hauj lwm ntawm lub Italian mathematician Dzhuzeppe Peano ua tau qhov ntxiv structuring ntawm xam, tau ua nws lub formalities thiab npaj rau hauv av rau ntxiv cov lus xaus uas mus dhau lub teb cheeb tsam N. Yuav ua li cas yog ib tug natural tooj, nws tau pom yav tas los nyob rau hauv cov lus yooj yim, cov nram qab no yuav muab suav hais tias nyob rau hauv lub hauv paus ntawm ib tug zauv ntsiab txhais ntawm lub Peano axioms.

• Unit yog ntshai raws li ib tug natural tooj.
• Tus xov tooj uas raws li cov natural tooj, yog ib tug natural.
• Ua ntej lub tsev yog tsis muaj tej yam ntuj tso xov tooj.
• Yog hais tias lub xov tooj b yuav tsum tau ob leeg lub xov tooj c, thiab tus naj npawb ntawm d, ces c = d.
• Lub axiom ntawm induction, uas nyob rau hauv lem qhia tias ib tug natural tooj, Yog hais tias ib daim ntawv qhia hais tias nyob rau hauv ib lub parameter yog muaj tseeb rau cov xov tooj 1, ces peb xav hais tias nws ua haujlwm rau n tooj ntawm teb ntawm tej yam ntuj tso tus xov tooj N. Ces tus assertion yog muaj tseeb rau cov n = 1 los ntawm lub tshav pob ntawm tej yam ntuj tso tus xov tooj N.

Basic khiav hauj lwm rau ib daim teb ntawm tej yam ntuj tso tus xov tooj

Txij li thaum lub teb N yog thawj zauv, nws yog yuav tsum tau kho raws li sau rau ntawm txhais, thiab lub cheeb tsam hauv qab no tus xov tooj ntawm muas qhov tseem ceeb. Lawv raug kaw thiab tsis muaj. Lub ntsiab sib txawv yog hais tias lub lag luam yog guaranteed tawm ib tug raug kaw tshwm sim tsis pub dhau lub teeb N, tsis hais dab tsi tus xov tooj yog muab kev koom tes. Nws yog txaus hais tias lawv yog natural. Lub sij hawm ntawm qhov seem uas hais txog zauv sis tsis yog raws li ncaj thiab nyob rau hauv lub fact tias rau cov neeg muab kev koom tes nyob rau hauv cov kev qhia, raws li nws tej zaum yuav tsis tooj mus rau qhov yooj yim txhais. Yog li, lub kaw haujlwm:

• Tsis tas li ntawd - x + y = z, qhov twg x, y, z yog los ntawm teb N;
• npaug - x * y = z, qhov twg x, y, z yog los ntawm teb N;
• exponentiation - x ^y, qhov twg x, y yog los ntawm N. Teb

Qhov seem ua hauj lwm, cov kev tshwm sim uas yuav tsis muaj nyob rau hauv qhov kev txiav txim ntawm lub ntsiab lus teb "uas yog ib tug natural tus xov tooj" raws li nram no:

• Rho - x - y = z. Teb ntuj tooj tso cai rau nws xwb yog hais tias tus ntev x y;
• division - x / y = z. Teb ntuj tooj tso cai rau nws tsuas yog tias z yog muab faib los ntawm y tsis muaj residue, i.e. tusyees.

Thaj chaw ntawm cov xov tooj, teej tug mus rau lub teb N

Tag nrho cov ntxiv txog lej yuav tsum yog raws li nyob rau hauv cov zog, feem ntau tsis tseem ceeb, tab sis tsis muaj tsis tseem ceeb.

• Commutative khoom teejtug uas yog tsis tas li ntawd - x + y = y + x, qhov twg tus xov tooj ntawm x, y muaj nyob rau hauv lub thawv N. Los yog cov zoo-paub tias "los ntawm cov nyaj ntawm sum yog tsis tau hloov."
• Commutative khoom teejtug uas yog sib npaug - x * y = y * x, qhov twg cov zauv x, y yog los ntawm N. Teb
• Sib koom ua ke ntxiv - (x + y) + z = x + (y + z), qhov chaw uas x, y, z yog los ntawm N. Teb
• Sib koom ua ke ntawm kev ua lej khu - (x * y) * z = x * (y * z), qhov chaw uas cov zauv x, y, z yog los ntawm N. Teb
• distributive vaj tse - x (y + z) = x * y + x * z, qhov twg cov zauv x, y, z yog los ntawm N. Teb

Rooj ntawm Pythagoras

Ib qho ntawm thawj kauj ruam nyob rau hauv txoj kev paub ntawm cov menyuam kawm ntawv thoob plaws hauv lub elementary lej lug tom qab lawv to taub rau lawv tus kheej li cas tus xov tooj yog hu ua ntuj, yog ib lub rooj ntawm Pythagoras. Nws yuav suav hais tias tsis tsuas yog los ntawm tus taw tes ntawm view ntawm science, tab sis kuj raws li ib tug tseem ceeb kev monument.

Qhov no npaug rooj tau undergone ib tug xov tooj ntawm cov kev hloov lub sij hawm: nws raug tshem tawm los ntawm xoom, thiab cov zauv los ntawm 1 mus rau 10 sawv ntsug rau lawv tus kheej, tsis suav kev txiav txim ntawm qhov ntau (pua pua, phav phav ...). Nws yog ib lub rooj nyob rau hauv uas lub npe ntawm kab thiab txhua - tus naj npawb thiab txheem ntawm lub hlwb ntawm kev tshuam yog sib npaug zos rau cov khoom ntawm lawv tus kheej.

Nyob rau hauv txoj kev xyaum ntawm kev kawm tas los ob peb xyoo lawm muaj ib qhov yuav tsum tau rau kev kawm rau hauv lub Pythagorean rooj "nyob rau hauv kev txiav txim", uas yog, thawj mus rau kev cim cia. Npaug 1 twb rho, vim cov no sib npaug zos rau 1 los yog ntau dua qhov zoo tshaj. Meanwhile, nyob rau hauv lub rooj yuav pom nrog tus liab qab qhov muag qauv: cov khoom ntawm cov zauv ua los ntawm ib kauj ruam, uas yog sib npaug zos title txoj hlua. Yog li, lub thib ob zoo tshaj qhia tau hais tias peb yuav ua li cas muaj ntau zaus koj yuav tau muab cov thawj, nyob rau hauv thiaj li yuav tau cov yam khoom no. Qhov no system yog tsis zoo li qhov ntau yooj yim yog ib tug uas twb xyaum nyob rau hauv cov Nrab Hnub nyoog: txawm paub txog tias yog ib tug zoo integer, thiab yuav ua li cas nws yog tsis tseem ceeb, cov neeg muaj kev tswj kom cov nyom rau koj tus kheej txhua hnub los ntawm kev siv ib tug system uas yog raws li nyob rau hauv lub degrees ntawm ob tug.

Ib tug subset li tus menyuam txaj hauv kev kawm txog zauv

Thaum lub caij, lub tshav pob ntawm tej yam ntuj tso tus xov tooj N yog suav tias yog tsuas yog raws li ib tug ntawm cov subsets ntawm cov lej, tab sis nws tsis ua rau lawv tsawg tseem ceeb nyob rau science. Ntuj tooj - tus thawj yam uas ib tug me nyuam kawm los ntawm kev kawm peb tus kheej thiab lub ntiaj teb no nyob ib ncig ntawm peb. Thaum ib tug ntiv tes, ob tug ntiv tes ... Ua tsaug rau nws, ib tug txiv neej tsim los ntawm cov zajlus kom xav, raws li zoo raws li lub peev xwm los mus txiav txim qhov ua rau thiab qhov tsim nyog tau ntawm cov zis, paving txoj kev rau loj discoveries.