Pendulum: lub sij hawm thiab acceleration ntawm mis

Cov neeg kho tshuab system uas muaj ib tug cov ntaub ntawv uas point (lub cev), uas hangs nyob rau hauv ib tug weightless inextensible filament (nws loj yog negligible piv rau tus luj ntawm lub cev) nyob rau hauv ib tug uniform gravitational teb, hu ua cov zauv pendulum (lwm lub npe - tus oscillator). Nws muaj lwm yam hom kiag li lawm. Es tsis txhob ib tug filament weightless pas nrig yuav siv tau. Pendulum yuav kom meej meej qhia cov essence ntawm ntau nthuav tshwm sim. Thaum me me amplitude deeg ntawm nws tsab ntawv tsa suab yog hu ua harmonic.

General ntaub ntawv hais txog tus neeg kho tshuab system

Cov mis ntawm lub oscillation lub sij hawm ntawm lub pendulum twb bred Dutch paub txog Huygens (1629-1695 gg.). Qhov no kawm ntawm Isaac Newton yog heev fond ntawm tus neeg kho tshuab system. Nyob rau hauv 1656 nws tsim thawj saib nrog ib tug pendulum mechanism. Lawv ntsuas lub sij hawm nrog huab precision rau cov sij hawm. Qhov no invention yog ib tug loj kauj ruam nyob rau hauv txoj kev loj hlob ntawm lub cev thwmsim thiab cov tswv yim kev ua ub no.

Yog hais tias lub pendulum yog nyob rau hauv ib tug equilibrium txoj hauj lwm (dai mas), cov kev quab yuam ntawm lub ntiajteb txawj nqus yuav balanced los ntawm cov xov nro quab yuam. Pav ca pendulum rau ib tug uas tsis yog-stretchable yarns yog ib tug system nrog ob degrees ntawm txoj kev ywj pheej ntawm kev sib txuas lus. Thaum hloov cia li ib feem ntawm kev hloov lub yam ntxwv ntawm tag nrho cov nws qhov chaw. Piv txwv li, yog tias ib tug xov yog hloov los ntawm ib tug pas nrig, ces qhov no txhua yam system tsuas yog 1 degree ntawm txoj kev ywj pheej. Yuav ua li cas, ces, lub zog ntawm ib tug zauv pendulum? Nyob rau hauv no yooj yooj yim system, nyob rau hauv tus ntawm ib tug periodic perturbation, chaos zoo nkaus li. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv uas, thaum lub ncua kev kawm ntawv taw tes yog tsis tsiv, thiab oscillates ib tug pendulum muaj ib tug tshiab equilibrium txoj hauj lwm. Yog hais tias sai hloov mus hloov los thiab nce thiab nqis no cov neeg kho tshuab system yuav ruaj khov txoj hauj lwm "upside down." Nws kuj muaj nws lub npe. Nws yog hu ua tus Kapitza pendulum.

Lub zog ntawm cov pendulum

Pendulum muaj heev nthuav zog. Tag nrho cov ntawm lawv yog txaus siab los ntawm zoo-paub kev cai lij choj. Lub sij hawm ntawm oscillation ntawm lub pendulum lwm yam nyob rau ntau yam tshwm sim xws li qhov loj thiab zoo ntawm lub cev, qhov kev ncua deb ntawm tus taw tes ntawm rho tawm thiab qhov chaw ntawm lub ntiajteb txawj nqus, qhov hnyav faib nrog txoj kev no. Uas yog vim li cas lub ntsiab txhais ntawm lub cev dai lub sij hawm yog heev yooj yim. Yog yooj yim npaum li mus xam rau lub sij hawm ntawm ib tug yooj yim pendulum, cov mis uas yog muab hauv qab no. Raws li ib tug tshwm sim ntawm tsom kwm cov qauv tau teem rau txhua yam uas zoo sib xws systems:

• Yog hais tias, thaum tswj cov tib ntev ntawm lub pendulum, tshem tawm los ntawm ib tug ntau yam ntawm loads, lub sij hawm ntawm lub oscillation tau txais tib yam, tab sis lawv qhov ceeb thawj yuav txawv heev. Li ntawd, cov sij hawm ntawm lub pendulum tsis nyob ntawm seb tus luj ntawm lub load.

• Yog hais tias lub system pib tsis kam nyob rau hauv lub pendulum yog tsis heev loj, tab sis ces kaum sib txawv, nws yuav ywj faj ywj fwm nrog tib lub sij hawm, tab sis nyob rau txawv amplitudes. Thaum hloov los ntawm qhov chaw ntawm tshuav nyiaj li cas yog tsis heev loj hloov mus hloov los nyob rau hauv lawv daim ntawv no yuav tsum nyob ze txaus harmonic. Lub sij hawm ntawm xws li ib tug pendulum tsis yog nyob ntawm seb vibrational amplitude. Qhov no cov khoom teejtug uas tus neeg kho tshuab system yog hu ua isochronism (nyob rau hauv Greek "chronos" - lub sij hawm "Izosov" - sib npaug).

Lub sij hawm ntawm ib tug yooj yim pendulum

Qhov no xam nruab nrab yog lub ntuj lub sij hawm ntawm oscillation. Dua li ntawm qhov complex formulation, cov txheej txheem nws tus kheej yog yooj yim heev. Yog hais tias qhov ntev ntawm lub xov zauv pendulum L, thiab cov gravitational acceleration g, qhov no tus nqi yog sib npaug zos:

T = 2π√L / g

Me sij hawm ntawm tej yam ntuj tso oscillations nyob rau hauv tsis muaj txoj kev tsis yog nyob ntawm seb qhov loj ntawm lub pendulum thiab cov oscillation amplitude. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, raws li ib tug lej pendulum tsiv rau txo ntev.

Oscillations ntawm ib tug zauv pendulum

Lej pendulum oscillates, uas yuav tsum tau piav los ntawm ib tug yooj yim differential kab zauv:

x + ω2 kev txhaum x = 0,

qhov twg x (t) - tsis paub hais tias muaj nuj nqi (qhov no kaum sab xis ntawm deflection ntawm lub qis txoj hauj lwm ntawm equilibrium thaum lub sij hawm t, qhia nyob rau hauv radians); ω - ib tug zoo qhov uas yog txiav txim los ntawm qhov tsis muaj tus pendulum (ω = √g / L, qhov twg g - lub acceleration ntawm lub ntiajteb txawj nqus, thiab L - qhov ntev ntawm ib tug yooj yim pendulum (ncua kev kawm ntawv).

Kab zauv me me oscillations nyob ze equilibrium txoj hauj lwm (harmonic kab zauv) raws li nram no:

x + ω2 kev txhaum x = 0

Oscillatory tsab ntawv tsa suab ntawm lub pendulum

Pendulum, uas ua rau me me oscillations, tsiv sinusoid. Ob txhais thiaj differential kab zauv raws li tag nrho cov uas yuav tsum tau thiab tsis muaj xws li ib tug zog. Yuav kom txiav txim txoj kev uas koj yuav tsum tau teem cov kev ceev thiab coordinates, uas tom qab txiav txim ywj siab constants:

x = ib tug txoj kev txhaum (θ ₀ + ωt),

qhov twg θ ₀ - thawj zaug rau theem, A - amplitude ntawm oscillation, ω - cyclic zaus txiav txim los ntawm qhov sib npaug ntawm cov lus tsa suab.

Pendulum (formula rau loj amplitudes)

Qhov no cov neeg kho tshuab system, ua lawv oscillations nrog ib tug loj amplitude, nws yog kev kawm mus rau ntau cov tsheb cai. lawv xam raws li tus qauv xws li ib tug pendulum:

kev txhaum x / 2 = u * sn (ωt / u),

qhov twg sn - sine Jacobi, uas rau u <1 yog ib tug periodic muaj nuj nqi, thiab rau me me u nws coincides nrog tej yam yooj yim trigonometric sine. Tus nqi ntawm u yog txiav txim los ntawm lub hauv qab no qhia:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

qhov twg ε = E / mL2 (mL2 - lub zog ntawm lub pendulum).

Kev txiav txim ntawm nonlinear oscillation lub sij hawm ntawm lub pendulum los ntawm cov nram qab no mis:

T = 2π / Ω,

qhov twg Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptic integral, π - 3,14.

lub pendulum zog ntawm tus separatrix

Nws hu ua separatrix trajectory ntawm lub dynamic system, nyob rau hauv uas ib tug ob-dimensional theem qhov chaw. Pendulum tsiv rau ib tug uas tsis yog-tsis tseg. Nyob rau hauv lub infinitely deb taw tes rau lub sij hawm nws dauv los ntawm cov huab qaum txoj hauj lwm mus rau ib tug pes tsawg ceev, thiab ces nws yuav maj mam nkag mus rau hauv. Nws nws thiaj li nres, rov mus rau cov thawj txoj hauj lwm.

Yog hais tias lub amplitude ntawm oscillation ntawm lub pendulum txuas tus xov tooj pi, nws yog hais tias cov lus tsa suab nyob rau hauv cov theem dav hlau yog nyob ze rau lub separatrix. Nyob rau hauv cov ntaub ntawv no, nyob rau hauv qhov kev txiav txim ntawm ib tug me me periodic tsav tsheb quab yuam ntawm tus neeg kho tshuab system exhibits chaotic tus cwj pwm.

Nyob rau hauv cov kev tshwm sim ntawm ib tug yooj yim pendulum los ntawm lub equilibrium txoj hauj lwm nrog ib lub cp tshwm sim tangential quab yuam Fτ = -mg kev txhaum φ lub ntiajteb txawj nqus. "Rho tawm" kos npe rau txhais tau hais tias tangential tivthaiv qhia nyob rau hauv kev coj rov qab los ntawm cov kev taw qhia ntawm txawv ntawm lub pendulum. Thaum xa ntawm pendulum xaav x raws li ib ncig arc nrog ib lub vojvoog L yog sib npaug zos rau nws angular xaav φ = x / L. Qhov thib ob txoj cai Isaaka Nyutona, tsim rau projection ntawm lub acceleration vector thiab lub dag lub zog muab lub Desired qhov nqi:

mg τ = Fτ = -mg kev txhaum x / L

Raws li cov ntawm no lub ratio, nws yog tseeb hais tias cov pendulum yog ib tug nonlinear system, raws li ib tug dag zog yuam uas nyhav rov qab mus rau nws cov equilibrium txoj hauj lwm, yog tsis ib txwm yeem mus rau xaav x, ib tug kev txhaum x / L.

Tsuas yog thaum cov zauv pendulum ua me me deeg, nws yog ib tug harmonic oscillator. Nyob rau hauv lwm yam lus, nws ua ib tug txhua yam system uas muaj peev xwm ntawm kev ua tau zoo harmonic oscillations. Qhov no approximation yog siv tau rau yuav luag ces kaum 15-20 °. Pendulum nrog loj amplitudes yog tsis harmonious.

Newton txoj cai rau me me oscillations ntawm ib tug pendulum

Yog hais tias tus neeg kho tshuab system ua me me oscillations, 2nd Newton txoj cai yuav zoo li no:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Nyob rau qhov no hauv paus, peb yuav xaus uas lub tangential acceleration ntawm ib tug yooj yim pendulum yog proportional rau nws xaav nrog tus kos npe rau "rho tawm". Qhov no yog ib tug mob uas tus system ua ib tug harmonic oscillator. Module proportionality tau ntawm cov xaav thiab cov acceleration sib npaug rau hauv lub square ntawm lub angular zaus:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Qhov no mis qhia lub ntuj zaus ntawm me me oscillations ntawm no hom ntawm pendulum. Nyob rau qhov no hauv paus,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Suav raws li cov kev cai lij choj ntawm kev txuag ntawm lub zog

Properties oscillating pendulum taw muaj peev xwm yuav piav nrog kev pab los ntawm txoj cai ntawm kev txuag ntawm lub zog. Nws yuav tsum tau borne nyob rau hauv lub siab hais tias lub peev xwm lub zog ntawm lub pendulum nyob rau hauv ib tug gravitational teb yog:

E = mgΔh = mgL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Tag nrho cov neeg kho tshuab zog sib npaug rau hauv lub kinetic thiab siab tshaj plaws tej zaum: Epmax = Ekmsx = E

Tom qab koj tau sau cov kev cai lij choj ntawm kev txuag ntawm lub zog, noj lub derivative ntawm sab laug thiab txoj cai sab ntawm kab zauv:

Qauv + EK = const

Txij li thaum lub derivative ntawm lub constants yog sib npaug zos rau 0, ces (qauv + EK) '= 0. Cov derivative ntawm lub sum sib npaug rau hauv lub sum ntawm cov derivatives:

Qauv '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2 x * x '= mg / L * v + EK' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2V * v '= mv * α,

yog li ntawd:

Mg / L * xv + mva = v (mg / L * x + α m) = 0.

Raws li qhov kawg mis, peb nrhiav tau: α = - g / L * x.

Tswv yim rau daim ntawv thov ntawm cov zauv pendulum

Acceleration dawb lub caij nplooj zeeg nws txawv nrog rau latitude, vim hais tias cov kev ceev ntawm lub kiav txhab nyob ib ncig ntawm lub ntiaj chaw tsis zoo tib yam. Qhov twg pob zeb tshwm sim nrog ib tug ntau dua kev ceev, nws yuav yuav ib nyuag ntau dua. Acceleration ntawm zauv pendulum yog feem ntau siv rau kev tshawb kawm. Nyob rau hauv nws cov kev pab zoo rau txawv minerals. Cias suav tus xov tooj ntawm oscillations ntawm ib tug pendulum, nws tseem tau mus ntes cov thee los yog ore nyob rau hauv lub bowels ntawm lub ntiaj teb. Qhov no yog vim lub fact tias cov kev pab no muaj ib tug ntom thiab hnyav ntawm ntau tshaj dag hauv qab lub xoob pob zeb.

Lej pendulum siv los ntawm xws li mas scholars li Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Muaj ntau ntawm lawv ntseeg hais tias tus neeg kho tshuab system yuav feem xyuam rau txoj hmoo thiab lub neej. Archimedes siv cov zauv pendulum nrog nws suav. Niaj hnub no, muaj ntau yam occultists thiab psychics siv no cov neeg kho tshuab system rau qhov kev siv ntawm nws cov yaj saub, los yog cov kev tshawb fawb rau uas ploj lawm cov neeg.

Cov naas ej Fabkis astronomer thiab paub txog, Flammarion rau cov kev tshawb fawb kuj siv ib tug zauv pendulum. Nws thov hais tias nrog nws pab nws muaj peev xwm mus twv seb tus foundations ntawm ib tug tshiab lub ntiaj teb, lub rov tshwm sim ntawm tus Tunguska meteorite, thiab lwm yam tseem ceeb cov txheej xwm. Thaum lub sij hawm ob ntiaj teb rog nyob rau hauv lub teb chaws Yelemees (Berlin) ua hauj lwm raws li ib tug tshwj xeeb lub koom haum ntawm lub pendulum. Niaj hnub no, xws kev tshawb fawb yog tsis muaj Munich lub koom haum ntawm Parapsychology. Nws ua hauj lwm nrog cov pendulum lub neeg ua hauj lwm qhov chaw ua hauj hu ua "radiesteziey".